Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y=3x+n的图象上，线段AB长为12，线段OC长为6，当y₁随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：根据OC的长求出n的值为6或-6，然后分①n=6时，求出A的坐标，再根据抛物线的性质求出点B的坐标，求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性写出x的取值范围；②n=-6时，求出A的坐标，再根据抛物线的性质求出点B的坐标，求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性写出x的取值范围．

解答：解：∵OC=6，
∴一次函数y=3x+n的n的值为6或-6，
①n=6时，易得A（-2，0），
如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=12，且A（-2，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x=

-2+10

2

=4，
∴要使y₁随着x的增大而增大，自变量x的取值范围是x＜4；
②n=-6时，易得A（2，0），
如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＞0，
∵AB=12，且A（2，0），
∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x=

-10+2

2

=-4，
∴要使y₁随着x的增大而增大，自变量x的取值范围是x＞-4．
综上所述，自变量x的取值范围是x＜4或x＞-4．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，难点在于要分情况讨论．