Question

已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y₁=-ax²-ax+1，y₂=ax²-ax-1（其中a为常数，且a＞0）．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当a=

1

2

时，设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（M在N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（E在F的左边），观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线l，l₁，l₂都垂直于x轴，l₁，l₂分别经过A，B两点，l在直线l₁，l₂之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值？

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的性质写出三条不同的结论即可；
（2）先将a=

1

2

代入抛物线解析式，分别求得M、N、E、F四点坐标，再根据四点坐标写出合理的结论；
（3）根据题意求出CD关于x的解析式，然后求出当x=0时，CD的值最大．

解答：（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，或抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上；
②抛物线y₁=-ax²-ax+1的对称轴是x=-

1

2

，或抛物线y₂=ax²-ax-1的对称轴是x=

1

2

；
③抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（0，1），或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（0，-1）；
④抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线y₁=-ax²-ax+1与y₂=ax²-ax-1都与x轴有两个交点；
⑥抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点（-1，1）或抛物线y₂=ax²-ax-1经过点（1，-1）；

（2）当a=

1

2

时，y1=-

1

2

x2-

1

2

x+1，令-

1

2

x2-

1

2

x+1=0，
解得x_M=-2，x_N=1．（4分）
y2=

1

2

x2-

1

2

x-1，令

1

2

x2-

1

2

x-1=0，解得x_E=-1，x_F=2．（5分）
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，∴点M与点F对称，点N与点E对称；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，∴M，N，E，F四点横坐标的代数和为0；
③∵MN=3，EF=3，∴MN=EF（或ME=NF）．（6分）

（3）∵a＞0，
∴抛物线y₁=-ax²-ax+1开口向下，抛物线y₂=ax²-ax-1开口向上．（7分）
根据题意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．（8分）
∴当x=0时，CD的最大值是2．（9分）

点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及抛物线的性质以及最值的求法等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．