Question

9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，下底边AD在x轴上，AB=BC=CD=2且点A（-1，0）．动点M、N均以每秒1个单位的相同速度从点A、D同时出发，分别沿A→B→C和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）请直接写出B、D两点的坐标；
（2）若以MN为直径的圆与直线BC相切，试求出此时t的值；
（3）当t=3秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DMO？若存在，请求出点P的纵坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB=BC=CD=2且点A（-1，0）得出OA=1，再根据勾股定理求出OB的长即可得出B点坐标，再由OD的长可得出D点坐标；
（2）当0≤t≤2时，根据锐角三角函数的定义得出M（$\frac{t}{2}$-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），N（3-t，0），则以MN为直径的圆心O′（1-$\frac{t}{4}$，$\frac{\sqrt{3}t}{4}$），过O′作O′G⊥BC，交BC于点G，则G（1-$\frac{t}{4}$，$\sqrt{3}$），当以MN为直径的圆与直线BC相切，则O′G=$\frac{1}{2}$MN，再由两点间的距离公式即可得出t的值；当2＜t≤4时，若以MN为直径的圆与直线BC相切，则MN⊥BC，BM=ON 即t-2=3-t，由此可得出t的值；
（3）当t=3时，M（1，$\sqrt{3}$）．若∠DPO=∠DMO，则存在⊙Q，使得点O、D、P、M在⊙Q上，再由点Q在OD的垂直平分线上，可设Q（$\frac{3}{2}$，n），根据QM=QO求出n的值，故可得出Q点的坐标，求出PQ的长，再分当点P在点Q上方与下方两种情况即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=BC=CD=2且点A（-1，0）得出OA=1，
∴OB=$\sqrt{{AB}^{2}-{OA}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴B（0，$\sqrt{3}$）．
∵梯形ABCD是等腰梯形，BC=2，OA=1，
∴OD=2+1=3，
∴D（3，0）；

（2）分两种情况，
①如图1，当0≤t≤2时，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$\frac{1}{2}$AB
∴∠BAO=60°，
∴M（$\frac{t}{2}$-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），N（3-t，0），
则以MN为直径的圆心O′（1-$\frac{t}{4}$，$\frac{\sqrt{3}t}{4}$），过O′作O′G⊥BC，交BC于点G
则G（1-$\frac{t}{4}$，$\sqrt{3}$），
法1，当以MN为直径的圆与直线BC相切，则O′G=$\frac{1}{2}$MN
∴$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（4-\frac{3}{2}{t）}^{2}+（\frac{\sqrt{3}t}{2}）^{2}}$即t₁=t₂=$\frac{4}{3}$，
法2：可用K_MG-K_NG=-1或构造相似或勾股定理等方法求出t．
②如图2，当2＜t≤4时，
∵若以MN为直径的圆与直线BC相切，则MN⊥BC，
∴BM=ON 即t-2=3-t，
∴t=$\frac{5}{2}$．          
综上，当t=$\frac{4}{3}$或t=$\frac{5}{2}$时，以MN为直径的圆与直线BC相切；

（3）存在．
如图3，当t=3时，M（1，$\sqrt{3}$）．
若∠DPO=∠DMO，则存在⊙Q，使得点O、D、P、M在⊙Q上，
又∵点Q在OD的垂直平分线上，可设Q（$\frac{3}{2}$，n），
∴QM=QO即$\sqrt{\frac{1}{4}+（n-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}+{n}^{2}}$，解得n=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
∴PQ=OQ=$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{36}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$；
①当点P在点Q上方时，y_p=PQ+y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{6}$+$\frac{\sqrt{21}}{3}$；
②当点P在点Q下方时，
由对称性质，可得y_p=PQ-y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\frac{\sqrt{21}}{3}$；
综上所述：点P的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{6}$+$\frac{\sqrt{21}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到勾股定理、切线的判定与性质、角平分线的性质等知识，在解答（2）、（3）时要注意分类讨论．