Question

17．如图：在平面直角坐标系中，平行四边形OABC，O是坐标原点，OC在x轴的正半轴上，OC=6，B（9，4）
（1）求tan∠AOC；
（2）D从C点出发，延CO方向以每秒0.75单位的速度运动，点E从O点出发以每秒2个单位的速度，沿线段OA，AB运动，当t为多少时，直线DE平分平行四边形OABC的面积？
（3）在（2）中的直线上是否存在一点P使△BEP与△BEC相似？若存在求点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据OC的长及B的坐标，确定出tan∠BCX的值，即为tan∠AOC的值；
（2）根据题意得到ED过平行四边形的中心，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）由E与C的坐标，得到EC与y轴平行，确定出三角形BEC为直角三角形，分两种情况考虑：当P位于如图P₂时，∠EBP₂=90°；当P位于如图P₁时，∠EP₁B=90°，作P₁G⊥AB，垂足为G，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）∵平行四边形OABC，
∴∠BCX=∠AOC，
∵OC=6，B（9，4），
∴tan∠AOC=tan∠BCX=$\frac{4}{3}$；
（2）∵直线DE平分平行四边形OABC的面积，AO=5，
∴AE=CD，即2t-5=0.75t，
解得：t=4，
则当t为4秒时，直线DE平分平行四边形OABC的面积；
（3）∵E（6，4），C（6、0），
∴EC∥y轴，
∴△BEC为RT△BEC，
当△BEP与△BEC相似时；
当P位于如图P₂时，∠EBP₂=90°，
此时BP₂∥EC∥y轴，
∴tan∠AOC=tan∠BEP₂=$\frac{4}{3}$，
∵EB=3，
∴BP₂=4，
∴P₂（9，8）；
当P位于如图P₁时，∠EP₁B=90°，作P₁G⊥AB，垂足为G，
∵BP₁=3×4÷5=$\frac{12}{5}$，tan∠BEP₂=$\frac{4}{3}$，
∴EP₁=$\frac{9}{5}$，
∴P1G=$\frac{9}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{36}{25}$，EG=$\frac{9}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{27}{25}$，
∴P1（$\frac{177}{25}$，$\frac{136}{25}$），
综上所述P点坐标为（$\frac{177}{25}$，$\frac{136}{25}$）或（9，8）．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，平行四边形的性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．