Question

菱形ABCD的对角线相交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x²-（2k-1）x+4（k-1）=0的两个根，又知菱形的周长为20，求k的值．

Answer 1

解：
∵AO、BO的长分别是关于x的方程x²-（2k-1）x+4（k-1）=0的两个根，
∴AO+OB=2k-1，AO•BO=4k-4，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD=BC=CD=×20=5，AC⊥BD，
由勾股定理得：AO²+OB²=AB²=25，
∴（AO+BO）²-2AO•BO=25，
∴（2k-1）²-2（4k-4）=25，
解得：k²-3k-4=0，
k₁=4，k₂=-1，
当k=4时，方程为x²-7x+12=0，
b²-4ac=49-48＞0，AO•OB=7＞0，AO+B0=12＞0；
当k=-1时，方程为x²+3x-8=0，
b²-4ac=9+32＞0，AO•OB=-8＜0，不合题意舍去；
∴k的值是4．
分析：根据根与系数的关系求出AO+OB=2k-1，AO•BO=4k-4，由勾股定理得出AO²+OB²=AB²=25，推出（2k-1）²-2（4k-4）=25，求出k的值，当k=4时，方程为x²-7x+12=0，代入b²-4ac、AO•OB、AO+B0进行检验即可．
点评：本题考查了菱形的性质，根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．注意一定要进行检验啊．