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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2
    		3
    cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
    （1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
    （2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
    ①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
    ②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
    （2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
    ②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
    解答：解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2
    		3
    t．
    则
    AP
    AQ
    =
    4t
    2
    		3
    t
    =
    2
    		3
    3
    ，
    又∵AO=10
    		3
    ，AB=20，
    ∴
    AB
    AO
    =
    20
    10
    		3
    =
    2
    		3
    3
    ．
    ∴
    AP
    AQ
    =
    AB
    AO
    ．
    又∵∠CAB=30°，
    ∴△APQ∽△ABO．
    ∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
    当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
    ∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．

    （2）①如图，在Rt△APM中，
    ∵∠PAM=30°，AP=4t，
    ∴AM=
    8
    		3
    t
    3
    ．
    在△APQ中，∠AQP=90°，
    ∴AQ=AP•cos30°=2
    		3
    t，
    ∴QM=AC-2AQ=20
    		3
    -4
    		3
    t．
    由AQ+QM=AM得：2
    		3
    t+20
    		3
    -4
    		3
    t=
    8
    		3
    t
    3
    ，
    解得t=
    30
    7
    ．
    ∴当t=
    30
    7
    时，点P、M、N在一直线上．
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    ②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
    设l交AC于H．
    如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
    ∴MH=2NH．得20
    		3
    -4
    		3
    t-
    2
    		3
    t
    3
    =2×
    8
    		3
    t
    3
    ，解得t=2．
    如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
    ∴MH=2PH，同理可得t=
    20
    3
    ．
    故当t=2或
    20
    3
    时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
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    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．
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    ．

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    A、sinα=
    4
    5
    B、cosα=
    3
    5
    C、tanα=
    4
    3
    D、tanα=
    3
    4

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
    （1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
    （2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
    （3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
    （4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm2（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
    （1）当x=
    8
    8
    秒时，P和Q相遇；
    （2）当x=
    （12-4
    		3
    ）
    （12-4
    		3
    ）
    秒时，△APQ是等腰直角三角形；
    （3）当x=
    32
    3
    32
    3
    秒时，△APQ是等边三角形；
    （4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC：∠BAD=2：1，对角线AC、BD相交于点O，求BD及AC的长．

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