Question

如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F．
（1）请写出与A点有关的三个正确结论；
（2）DE与DF在数量上有何关系？并给出证明．

Answer 1

考点：勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）先运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，再运用勾股定理求出AC=5，则AB=AC，然后利用等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据角平分线的性质即可得出DE=DF．

解答：解：（1）AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，AB=AC等．理由如下：
∵AB=5，AD=4，BD=3，
∴4²+3²=5²．
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°．
∵CD=3，
∴AC=

32+42

=5，
∴AB=AC，
又∵BD=CD，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD；

（2）DE=DF，理由如下：
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF．

点评：本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形、角平分线的性质，难度适中．运用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形是解题的关键．