Question

如图，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．
（1）若∠BCD=140°，∠ECF=100°，求∠1、∠2的度数；
（2）若H为BA延长线上一点，连接CH，使CH=AB-AH，求证：∠CHB=2∠1．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出BF=DF，AB=AD，BC=DC，∠B=∠D，证△CBE≌△CDF，推出∠1=∠2即可；
（2）延长BH交CF的延长线于G，根据菱形性质求出CD∥AB，CD=AB，推出∠D=∠FAG，∠2=∠G，证△AFG≌△DFC，推出CD=GA=AB，求出GH=CH，推出∠GCH=∠G，推出∠GCH=∠1=∠2即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC=DC，∠B=∠D，
∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴BE=DF，
在△CBE和△CDF中

BC=CD ∠B=∠D BE=DF

∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=

1

2

（∠BCD-∠ECF）=20°；
（2）证明：
延长BH交CF的延长线于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴∠D=∠FAG，∠2=∠G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFC中

∠FAG=∠D ∠G=∠2 AF=DF

∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CD=GA，
∴AB=GA，
∴GH=GA-AH=AB-AH，
∵CH=AB-AH，
∴GH=CH，
∴∠GCH=∠G，
∵∠2=∠G，∠1=∠2，
∴∠GCH=∠1=∠2，
∴∠CHB=2∠2=2∠1．

点评：本题考查了菱形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，本题比较好，但是有一定的难度．