Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

=

 

；
②得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：（1）归纳总结得到拆项规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）原式变形后，抵消合并即可得到结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2007

-

1

2008

=

2007

2008

；
②原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2006

-

1

2008

）=

1

2

×

1003

2008

=

1003

4016

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2007

2008

；②

n

n+1

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．