Question

如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作等边△ABE和等边△ACF，BF、CE交于点O．求证：
（1）BF=CE；
（2）∠BOE=60°；
（3）AO平分∠EOF；
（4）∠BEC+∠BFC=∠BAC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由条件证明△AEC≌△ABF即可得出结论；
（2）由（1）可得∠AEC=∠ABF，且∠AEC+∠EAB=∠ABF+∠BOF，可得出结论；
（3）过A分别作AM⊥EC，AN⊥BF，证明△AEM≌△ABN，可得出AM=AN，可得出结论；
（4）由（3）可知∠AOF=∠AOE=60°，∠BEC+∠EBA=∠BAO+∠AOE，可得出∠BEC=∠BAO，同理可得∠BFC=∠CAO，相加可得出结论．

解答：证明：（1）∵△ABE和△ACF为等边三角形，
∴AE=AB，AC=AF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC和△ABF中，

AE=AB ∠EAC=∠BAF AC=AF

，
∴△AEC≌△ABF（SAS），
∴BF=CE；
（2）由（1）△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AEC+∠EAB=∠ABF+∠BOE，
∴∠BOE=∠EAB=60°；
（3）如图，过A分别作AM⊥EC，AN⊥BF，分别交EC、BF于点M、N

由（1）可得∠AEM=∠ABN，
在△AEM和△ABN中，

∠AEM=∠ABN ∠AME=∠ANB AE=AB

，
∴△AEM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
∴点A在∠EOF的角平分线上，
∴AO平分∠EOF；
（4）由（3）可知∠AOE=∠EBA=60°，
且∠BEC+∠EBA=∠BAO+∠AOE，
∴∠BEC=∠BAO，
同理∠BFC=∠CAO，
∴∠BEC+∠BFC=∠BAO+∠CAO=∠BAC．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的、三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．