Question

如图A、B、C、D在同一直线上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是B，C，AB=DC，AE=DF．求证：AF=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：通过HL证得Rt△ABE≌Rt△DCF，推知EB=FC，则易证AC=DB，然后再利用SAS推知△AFC≌△DEB，故AF=DE．

解答：证明：∵如图，∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠ABE=∠DCF=90°，
在Rt△ABE与Rt△DCF中，

AB=DC AE=DF

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
又∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB．
在△AFC与△DEB中，

AC=DB ∠ACF=∠DBE FC=EB

，
∴△AFC≌△DEB（SAS），
∴AF=DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．