Question

在△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜120°）得△A₁CB₁，A₁C交AB于E，A₁B₁分别交AB、CB于D、F，连结A₁A．
（1）当α为多少度时，△AA₁E是等腰三角形；
（2）当α=30°时，求DE的长．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）如图1，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAB=30°，再根据旋转的性质得∠ACA₁=α，CA=CA₁，于是利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算得到∠CAA₁=∠CA₁A=90°-

1

2

α，则∠EAA₁=∠CAA₁-∠CAB=60°-

1

2

α，由三角形外角性质得∠AEA₁=∠CAE+∠ACE=30°+α，然后分类讨论：当∠AEA₁=∠AA₁E时，△AA₁E是等腰三角形，此时30°+α=90°-

1

2

α；当∠AEA₁=∠EA₁A时，△AA₁E是等腰三角形，此时30°+α=60°-

1

2

α，再分别计算出α即可；
（2）作EH⊥AC于H，A₁G⊥AE于G，如图2，先由（1）中的结论计算出∠EAA₁=60°-

1

2

α=45°，∠AEA₁=30°+α=60°，可判断△EAC为等腰三角形，则AH=CH=

1

2

AC=3，在Rt△AHE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得HE=

3

3

AH=

3

，AE=2HE=2

3

；设GE=x，在Rt△A₁GE中得到A₁E=2GE=2x，A₁G=

3

GE=

3

x，在Rt△AA₁G中得到AG=A₁G=

3

x，则

3

x+x=2

3

，解得x=3-

3

，然后证明ED=EA₁即可．

解答：解：（1）如图1，
∵CA=CB=6，∠ACB=120°，
∴∠CAB=30°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜120°）得△A₁CB₁，
∴∠ACA₁=α，CA=CA₁，
∴∠CAA₁=∠CA₁A=

1

2

（180°-∠ACA₁）=90°-

1

2

α，
∴∠EAA₁=∠CAA₁-∠CAB=90°-

1

2

α-30°=60°-

1

2

α，
而∠AEA₁=∠CAE+∠ACE=30°+α，
当∠AEA₁=∠AA₁E时，△AA₁E是等腰三角形，此时30°+α=90°-

1

2

α，解得α=40°；
当∠AEA₁=∠EA₁A时，△AA₁E是等腰三角形，此时30°+α=60°-

1

2

α，解得α=20°；
即α为20度或40度时，△AA₁E是等腰三角形；
（2）作EH⊥AC于H，A₁G⊥AE于G，如图2，
∵α=30°，即∠ACA₁=30°，
∴∠EAA₁=60°-

1

2

α=45°，∠AEA₁=30°+α=60°，
∵∠CAB=∠ACA₁=30°，
∴△EAC为等腰三角形，
∴AH=CH=

1

2

AC=3，
在Rt△AHE中，HE=

3

3

AH=

3

，AE=2HE=2

3

，
设GE=x，
在Rt△A₁GE中，∵∠GEA₁=30°+α=60°，
∴∠EA₁G=30°，
∴A₁E=2GE=2x，A₁G=

3

GE=

3

x，
在Rt△AA₁G中，∵∠GAA₁=45°，
∴AG=A₁G=

3

x，
∴

3

x+x=2

3

，解得x=3-

3

，
∴A₁E=6-2

3

，
∵∠CA₁B₁=∠CAB=30°，
而∠AEA₁=∠EA₁D+∠EDA₁=60°，
∴∠EDA₁=30°，
∴ED=EA₁=6-2

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．