Question

直线AB：y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为第二象限内的点，⊙P与x轴y轴分别切于C、D，与直线AB切于点E．求：
（1）AB的长；
（2）∠CDE的度数；
（3）点P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）借助函数解析式可求出A、B两点的坐标，利用勾股定理可求得AB的长；
（2）连接PE、PC由切线的性质可求得优弧CE所对的圆心角的度数，利用圆周角定理可求得∠CDE的度数；
（3）设圆的半径为r，延长CP交直线AB于点G，则可知GE=PE=r，则PG=

2

r，CA=r+2，由GC=CA，可解得r，则可得出P点坐标．

解答：解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=2，
所以A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），
在Rt△AOB中由勾股定理可得AB=2

2

；
（2）如图1，分别连接PC、PE，则∠PEA=∠PCA=90°，

由（1）可知∠CAE=45°，
∴∠EPC=180°-45=135°，
∴优弧CE所对的圆心角为225°，
∴∠CDE=112.5°；
（3）如图2，延长CP交直线AB于点F，设⊙P半径为r，则PE=PC=CO=r，

由∠CAB=45°可知∠CFA=45°，
∴EF=PE=r，
在Rt△PEF中，由勾股定理可得PF=

2

r，
∴CF=r+

2

r，
又∵CA=r+2，CA=CF，
∴r+2=r+

2

r，
解得r=

2

，
即PC=PD=

2

，
∴P点坐标为（-

2

，

2

）．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理、勾股定理的综合应用，在求角的度数时灵活利用圆周角定理是解题的关键，另外注意方程思想的应用．