Question

如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在边BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM=

 

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Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和等于180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．

解答：解：如图，取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
则AM=PM，AN=QN，
所以，∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
所以，△AMN周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，
∵∠BAE=120°，
∴∠P+∠Q=180°-120°=60°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×60°=120°．
故答案为：120°．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．