Question

已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

解：（1）根据题意得4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，解得k≤5，
所以k的取值范围为k≤5；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，
则x₁•x₂=k²-4k-1，
∵方程两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，
∴m=x₁•x₂=k²-4k-1=（k-2）²-5，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²-5≥0，
即m的最小值为-5．
分析：（1）根据△的意义得到4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，然后解不等式得到k≤5；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，根据根与系数的关系得到x₁•x₂=k²-4k-1，再根据反比例函数图象上点的坐标特点得m=x₁•x₂=k²-4k-1，配方得到m=（k-2）²-5，再根据非负数的性质得到（k-2）²-5≥0，于是m的最小值为-5．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系以及反比例函数图象上点的坐标特点．