Question

M为何整数时，9m²+5m+26能分解成两个连续自然数之积．

Answer 1

分析：利用根的判别式确定p与q的方程，进而得出所有的可能，注意不要漏解．

解答：解：设对某个自然数k≥0，有9m²+5m+26=k（k-1）将此式整理成关于m的一元二次方程，得9m²+5m-（k²-k-26）=0（1），
因为m为整数，k为自然数，故（1）的判别式△₁=25+36（k²-k-26）=36k²-36k-911，
必为完全平方数，再设36k²-36k-911=p²（p为自然数），则36k²-36k-（p²+911）=0（2），
为使方程（2）的根为自然数，须使（2）的判别式△₂=36²+4×36（p²+911）=12²（p²+920）为完全平方数，
又设p²+920=q²（q为自然数），则
（q+p）（q-p）=920（3），
因为q+p＞q-p＞0，q+p与q-p同奇偶，即它们均为偶数，
从而

q+p=460 q-p=2 ； q+p=230 q=p=2 ； q+p=92 q-p=10 ； q+p=46 q-p=20

解之得：

p=229 q=231

；

p=113 q=117

；

p=41 q=51

；

p=13 q=33

.
把p的值代入（2）求得k的值，再把k值代入（1）可求得m值，从而即得m=-1，2，6，-13．
即当m=-1，2，6，-13时，9m²+5m+26能分解成两个连续自然数之积．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及完全平均数问题，综合性较强．