M为何整数时,9m2+5m+26能分解成两个连续自然数之积.
【答案】
分析:利用根的判别式确定p与q的方程,进而得出所有的可能,注意不要漏解.
解答:解:设对某个自然数k≥0,有9m
2+5m+26=k(k-1)将此式整理成关于m的一元二次方程,得9m
2+5m-(k
2-k-26)=0(1),
因为m为整数,k为自然数,故(1)的判别式△
1=25+36(k
2-k-26)=36k
2-36k-911,
必为完全平方数,再设36k
2-36k-911=p
2(p为自然数),则36k
2-36k-(p
2+911)=0(2),
为使方程(2)的根为自然数,须使(2)的判别式△
2=36
2+4×36(p
2+911)=12
2(p
2+920)为完全平方数,
又设p
2+920=q
2(q为自然数),则
(q+p)(q-p)=920(3),
因为q+p>q-p>0,q+p与q-p同奇偶,即它们均为偶数,
从而
解之得:
把p的值代入(2)求得k的值,再把k值代入(1)可求得m值,从而即得m=-1,2,6,-13.
即当m=-1,2,6,-13时,9m
2+5m+26能分解成两个连续自然数之积.
点评:此题主要考查了一元二次方程根的判别式,以及完全平均数问题,综合性较强.