Question

如图，点E是正方形ABCD边BA延长线上一点（AE＜AD），连接DE．与正方形ABCD的外接圆相交于点F，BF与AD相交于点G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若tan∠E=2，BE=6

2

，求BG的长．

Answer 1

分析：（1）先根据四边形ABCD是正方形可得出∠DAB=90°，AD=AB，∠DAE=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DAE≌△BAG，进而可得出DE=BG；
（2）由tan∠E=2可知AD=2AE，由BE=6

2

可得出AD=4AE=2

2

，在Rt△ADE中利用勾股定理可求出DE的长，由DE=BG即可得出结论．

解答：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB
∵点E在BA的延长线上，
∴∠DAE=∠DAB=90°，
∴∠DAE=90°，
∴∠FDA=∠FBA，
在△DAE和△BAG中，

∠ADE=∠ABG AD=AB ∠DAE=∠BAG

，
∴△DAE≌△BAG（ASA），
∴DE=BG；

（2）∵tan∠E=

AD

AE

=2，
∴AD=2AE，
∴EB=AB+AE=AD+AE=6

2

，
∴AD=2AE=2

2

，
∴BG=DE=

32+8

=2

10

，
答：∴BG为2

10

．（7分）

点评：本题考查的是圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，涉及面较广，难度适中．