Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

       解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）²+，

将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）²+，

解得a=﹣，

故所求抛物线的解析式为y=﹣x²﹣x+；

（2）∵y=﹣x²﹣x+，

∴x=0时，y=，

∴C（0，）．

y=0时，﹣x²﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以

当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；

当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，

∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

设直线MB′的解析式为y=kx+n，

将M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直线MB′的解析式为y=x+．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．