如图.在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.抛物线y=ax2+6ax-4与x轴的负半轴相交于点A.与x轴的正半轴相交于点B.与y轴的负半轴相交于点C.且AB=10.一次函数y=x+b与抛物线相交于点E和点F.与抛物线的对称轴相交于点G．(1)求抛物线的解析式,是x轴下方抛物线上一点.连接DG和DE.当b=8时.求∠EDG的度数,(3)当b为何值时.在抛物线上有且只有两个点P.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+6ax-4与x轴的负半轴相交于点A，与x轴的正半轴相交于点B，与y轴的负半轴相交于点C，且AB=10，一次函数y=x+b与抛物线相交于点E和点F（点E在点F左边），与抛物线的对称轴相交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D（n，n+2）是x轴下方抛物线上一点，连接DG和DE，当b=8时，求∠EDG的度数；
（3）当b为何值时，在抛物线上有且只有两个点P，使△EPG是等腰直角三角形，连接CF，并求此时∠EFC的正切值．

分析（1）根据AB=10可得出B与A的横坐标之差为10，由抛物线的解析式可算出对称轴为-3，也就得出A与B的横坐标之和为-6，从而算出A、B两点坐标，解析式也就自然确定了；
（2）先求出D、G坐标，过点A作AH⊥DG于H，连接AD．，求出AH，DH，根据tan∠ADG=$\frac{AH}{DH}$，即可解决问题．
（3）如图2中，设点E关于对称轴的对称点为P′，根据对称性可知△EGP′是等腰直角三角形，当E是等腰直角三角形△EPG的直角顶点时，在抛物线上有且只有两个点P，使△EPG是等腰直角三角形，此时点P只能是抛物线顶点，求出点E、F坐标，作CH⊥AF于H，求出直线CH解析式，利用方程组求出点H坐标，求出FH，CH即可解决问题．

解答解：（1）设A、B两点的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
∵AB=10，
∴x₂-x₁=10，
∵抛物线解析式为y=ax²+6ax-4，
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{6a}{2a}$=-3，
即x₁+x₂=-6，
∴x₁=-8，x₂=2，
即点A（-8，0），点B（2，0）．
将点B（2，0）代入抛物线解析式，得
0=4a+12a-4，解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．

当b=8时，一次函数解析式为y=x+8，
令y=0，则有x+8=0，解得：x=-8，
此时点E与点A重合，坐标为（-8，0）；
令x=-3，则y=-3+8=5，
即G点坐标为（-3，5）．
∵点D（n，n+2）是x轴下方抛物线上一点，
∴n+2=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n-4，且n+2＜0，
解得：n=-6，或n=4（舍去），
∴点D的坐标为（-6，-4），
∴直线DG的解析式为y=3x+14，
过点A作AH⊥DG于H，连接AD．
直线AH解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+14}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点H坐标为（-5，-1），
∴AH=$\sqrt{（-8+5）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
DH=$\sqrt{（-6+5）^{2}+（-4+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，
∴tan∠ADG=$\frac{AH}{DH}$=1，
∴∠ADG=45°．

（3）如图2中，设点E关于对称轴的对称点为P′，根据对称性可知△EGP′是等腰直角三角形，

∴当E是等腰直角三角形△EPG的直角顶点时，在抛物线上有且只有两个点P，使△EPG是等腰直角三角形，
此时点P只能是抛物线顶点，因为此时∠AGP=∠APG=45°，
∴点P坐标（-3，-$\frac{25}{4}$），
过点P垂直GE的直线解析式为y=-x-$\frac{37}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{37}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（-7，-$\frac{9}{4}$），代入y=x+b得到b=$\frac{19}{4}$．
当点P为等腰直角三角形△EPG的直角顶点时，由图象可知点P不存在，
∴b=$\frac{19}{4}$时，在抛物线上有且只有两个点P，使△EPG是等腰直角三角形，
作CH⊥AF于H，则直线CH解析式为y=-x-4，直线EF为y=x+$\frac{19}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4}\\{y=x+\frac{19}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{35}{8}}\\{y=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$．
∴点H坐标（-$\frac{35}{8}$，$\frac{3}{8}$），
∴HC=$\frac{35}{8}$$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{19}{4}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=\frac{39}{4}}\end{array}\right.$，
∴点F坐标（5，$\frac{39}{4}$），
∴FH=$\frac{75}{8}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠EFC=$\frac{CH}{FH}$=$\frac{7}{15}$．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数、锐角三角函数、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建函数，利用方程组求两个函数交点坐标，学会常用辅助线的添加方法，属于中考压轴题．

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