Question

4．已知二次函数y=ax²-4a+4（a＜0）
（1）若a=-1写出抛物线顶点坐标，抛物线与x轴交点坐标．
（2）如图（一）抛物线上有一点P（2，4）若抛物线与x轴交于A，B，且∠APB=90°．求a的值．
（3）如图（二）若直线y=2x+b与抛物线相交于E，F两点，过（2）中P点作直线PE，PF，与x轴交于C，D．当PC=PD时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入抛物线可得抛物线解析式，再根据抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，令y=0，得到方程-x²+8=0，解方程得到抛物线与x轴交点坐标；
（2）令y=0，得ax²-4a+4=0，解方程得到x的值，从而得到A（-$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），B（$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），OB=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，根据勾股定理可得PO=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
，由于∠APB=90°，OA=OB，可得OB=PO，得到关于a的方程，解方程即可求解；
（3）设点E、F的坐标分别为F（x₁，ax₁²-4a+4）、E（x₂，ax₂²-4a+4）．如图，过点E作EG∥y轴，过点P作PG∥x轴，EG、PG相交于点G，过点FH∥x轴，过点P作PH∥y轴，FH、PH相交于点H．通过相似三角形Rt△PGE∽Rt△FHP的对应边成比例得到$\frac{EG}{PG}$=$\frac{PH}{FH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{{ax}_{2}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（{ax}_{1}^{2}-4a）}$，则x₁+x₂=-4，解方程即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a=-1，
∴二次函数y=-x²+8．
∴二次函数的顶点坐标为：（0，8）
令y=0，-x²+8=0
解得x₁=2$\sqrt{2}$，x₂=-2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0）
（2）令y=0，得ax²-4a+4=0，
解得x=±$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
∴A（-$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0），B（$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$，0）
∴OB=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
∵P（2，4），
∴PO=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴OB=PO，
∴2$\sqrt{5}$=$\sqrt{\frac{4a-4}{a}}$
解得a=-$\frac{1}{4}$．
（3）设点F、E的坐标分别为F（x₁，ax₁²-4a+4）、E（x₂，ax₂²-4a+4）．
又∵点F、E在直线y=2x+b上，
∴a（x₁+x₂）=2．
如图二，过点E作EG∥y轴，过点P作PG∥x轴，EG、PG相交于点G，过点FH∥x轴，过点P作PH∥y轴，FH、PH相交于点H．

∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵FH∥x轴，
∴∠PFH=∠PDC．
同理，∠EPG=∠PCD，
∴∠FHP=∠PGE，
∴Rt△PGE∽Rt△FHP，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{PH}{FH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{{ax}_{2}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（{ax}_{1}^{2}-4a）}$，
∴x₁+x₂=-4，
∴a=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判断与性质以及二次函数图象上点的坐标特征，方程思想，综合性较强，有一定的难度．