如图.直角梯形OABC.OC边放在x轴上.OA边放在y轴上.OC=12.BC=8.∠C=60°.点P以1个单位的速度从O点出发沿OC运动.点Q以相同的速度从C点出发.沿CB-BA运动.当一点到达终点时.两点停止运动,(1)写出B点的坐标,(2)写出△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式,(3)当Q点在BC边上运动时.是否存在t值.使△OPQ为等腰三角形?若有.求出此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．如图，直角梯形OABC，OC边放在x轴上，OA边放在y轴上，OC=12，BC=8，∠C=60°，点P以1个单位的速度从O点出发沿OC运动，点Q以相同的速度从C点出发，沿CB-BA运动，当一点到达终点时，两点停止运动；

（1）写出B点的坐标；
（2）写出△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）当Q点在BC边上运动时，是否存在t值，使△OPQ为等腰三角形？若有，求出此时的t值；如果没有，请说明理由．

分析（1）过B点作作BH⊥OC，在Rt△BHC中易求BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，得到点B的坐标；
（2）根据点不同时间段Q点的位置，分0＜t＜8和8≤t≤12，分别计算△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）分类讨论，用勾股定理表示线段，列方程求解．

解答解：（1）作BH⊥OC，垂足为H，在Rt△BHC中，
∵BC=8，∠C=60°，
∴BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，
∵OC=12，
∴OH=8
∴B（8，4$\sqrt{3}$）；

（2）当0＜t＜8时，作QM⊥OC，
在Rt△CQM中，
∵∠C=60°，
∴∠CQM=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{t}{2}$，QM=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，

∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•QM=$\frac{\sqrt{3}{t}^{2}}{4}$；
当8≤t≤12时，S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•BH=2$\sqrt{3}$t；
（3）∵Q点在BC边上，
∴0＜t≤8
∴O（0，0），P（t，0），Q（12-$\frac{t}{2}$，$\frac{\sqrt{3}t}{2}$），
①若OP=OQ，则OP²=OQ²；OP²=t²，OQ²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：t²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t=12＞8（不合题意，舍去）
②若PO=PQ，则OP²=PQ²；OP²=t²，PQ²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：t²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t₁=6，t₂=12，（舍去），
③若QO=QP，则OQ²=PQ²；PQ²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²，OQ²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t₁=0（舍去），t₂=12（舍去），
综上所述，当t=6时，△OPQ为等腰三角形．

点评本题主要考查了动点问题，分类讨论，勾股定理的灵活运用以及等腰三角形的判定和性质；能严密的思考，巧妙的运数形结合是解决问题的关键．

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