Question

如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AD=DC，根据中点定义可得AM=DN，然后利用“边角边”证明△AMD和△DNC全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=DM，全等三角形对应角相等可得∠CND=∠AMD，然后推出∠CND+∠NDM=90°，从而得到CN⊥DM；
（2）延长DM、CB交于点P，然后利用“角角边”证明△AMD和△BMP全等，根据全等三角形对应角相等以及正方形的四条边都相等可得BP=AD=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BH=BC，从而得证．

解答：证明：（1）CN=DM，CN⊥DM．
理由如下：∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN=90°，
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN=90° AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM，∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如图，延长DM、CB交于点P，
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中，

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC，
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定，比较简单，熟记正方形的四条边都相等，四个角都是直角，找出三角形全等的条件是解题的关键．