Question

二次函数y=

1

4

x2-

5

2

x+6的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果P（x，y）是线段BC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得PO=PA？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，令y=0可求得A、B的坐标；
（2）已知了B、C的坐标，用待定系数法求解即可，根据直线BC的解析式可用x表示出P点的纵坐标，以OA为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到△OAP的面积，由此可求得S、x的函数关系式；
（3）易知△OBC是等腰Rt△，且直角边长为6，根据垂直平分线的性质得出P点位置，进而求出即可．

解答：解：（1）由题意，在y=

1

4

x²-

5

2

x+6中，令y=0
0=

1

4

x²-

5

2

x+6，
解得：x=4或6，
当x=0，y=6，
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；

（2）设一次函数的解析式为：y=kx+b；
将B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：

6k+b=0 b=6

，
解得

k=-1 b=6

；
∴y=-x+6；
根据题意得S_△POA=

1

2

×4×y，
∴y=-x+6；
∴S_△POA=-2x+12；
∴0≤x＜6；

（3）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
作AO的中垂线交CB于P，
根据垂直平分线的性质得出PO=PA，
而OA=4，∴P点横坐标为2，代入直线BC解析式即可，
∴y=-x+6=-2+6=4，
∴P点坐标为：（2，4），
∴存在这样的点P（2，4），使得OP=AP．

点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法等重要知识点，综合性较强，难度适中．