Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0<m<3，连结OA，OB，。

（1）求证：mn=－6；

（2）当时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）作轴于C点，轴于D点，

点坐标分别为，，

又，

易证，。

（2）由（1）得，，又，∴OB?OA=10,即OB?OA=20，

即OB?OA=20，∴mBO²=20，

又

坐标为（2，6），B坐标为（－3，1），易得抛物线解析式为。

（3）直线AB为，且与轴交于F（0，4）点，

假设存在直线交抛物线于P，Q两点，且使，如图所示，

则有PF：FQ=1：3，作轴于M点，轴于N点，

在抛物线上，设坐标为，

则，易证，，

，，

点坐标为点在抛物线上，

，解得，坐标为，

Q坐标为，

易得直线PQ为。

根据抛物线的对称性可得直线PQ另解为。