Question

【题目】若点A（3，3 ）是正比例函数y=x上一点，点M（m，0）与点N（0，n）分别在x轴与y轴上，且∠MAN=90°．

（1）如图1，当N点与原点O重合，求M点的坐标；

（2）如图2，已知m，n都为正数，连接MN，若MN=，求△MON的面积．

Answer 1

【答案】（1）M（6，0）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，由点A的坐标即可得出AD=OD=3，进而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通过角的计算得出∠AMO=45°，从而得出AO=AM，根据等腰三角形的性质即可得出OM=2OD，由此即可得出点M的坐标；

（2）过点A作AQ⊥x轴于Q，作AP⊥y轴于P，由点A的坐标结合矩形的性质即可得出四边形APOQ是正方形，根据正方形的性质找出AP=AQ，再根据全等三角形的判定定理（ASA）即可证出△APN≌△AQM，从而得出PN=QM，通过边与边之间的关系结合勾股定理即可得出mn的值，将其代入三角形的面积公式即可得出结论．

试题解析：（1）当N点与原点O重合时，过点A作AD⊥x轴于D，如图3所示．

∵A（3，3），∴AD=OD=3，∴∠AOD=∠OAD=45°．

又∵∠MAN=90°，∴∠AMO=90°﹣45°=45°，∴AO=AM，∴OM=2OD=6，∴M点坐标为（6，0）．

（2）过点A作AQ⊥x轴于Q，作AP⊥y轴于P，如图4所示．

则∠APO=∠AQO=90°，又∵∠POQ=90°，∴四边形APOQ是矩形，∵A（3，3），∴OP=OQ=3，∴四边形APOQ是正方形，∴AP=AQ．

∵∠PAN+∠NAQ=90°，∠QAM+∠NAQ=90°，∴∠PAN=∠QAM．

在△APN和△AQM中，∵∠APN=∠AQM=90°，AP=AQ，∠PAN=∠QAM，∴△APN≌△AQM（ASA），∴PN=QM．

∵M （m，0），N （0，n），∴ON=n，OM=m，∴PN=3﹣n，QM=m﹣3，∴3﹣n=m﹣3，即m+n=6．

在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，∴，即m2+n2=30．

∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴62=30+2mn，即mn=3，∴==．