Question

如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于

1. A.
   12
2. B.
   7
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：在AC上截取CF=AB，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等求出OB=OC，∠BOC=90°，根据等角的补角相等求出∠OBA=∠OCF，然后利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的对应边相等可得OF=AO，全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠FOC，然后求出∠AOF=∠BOC=90°，判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．
解答：解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠OBA=∠OCF，．
∵在△ABO和△FCO中，
，
∴△ABO≌△FCO（ASA），
∴OF=AO=2，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=AO=×2=4，
∴AC=AF+CF=4+3=7．
故选B．
点评：本题考查了正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．