Question

11．如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？

Answer 1

分析 过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，由EF∥PC，可证明△DEF∽△DPC，利用相似比可得DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，则EG=GF+EF=15，然后根据平行线分线段成比例，由FM∥GN得到$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{EG}$的值．

解答 解：过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，
∵NE垂直平分DP，
∴DE=EP，
∵EF∥PC，
∴△DEF∽△DPC，
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{EF}{PC}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{2}$
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，
∴EG=GF+EF=12+3=15，
∵FM∥GN，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{EG}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．