Question

（1）已知，如图甲，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB''+DD′．
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BD交于O，过O作OO′⊥MN于O′，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，得出BB′∥OO′∥DD′，根据三角形的中位线得出OO′=

1

2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′）即可；
（2）连接AC、BD交于O，过O作OO′⊥MN于O′，延长C′O交AA′于E，根据平行线性质求出∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，证△AEO≌△OC′C，推出EO=C′O，得出A′O′=O′C′，
根据中位线的性质求出OO′=

1

2

（AA′-CC′），OO′=

1

2

（BB′+DD′），推出AA′-CC′=BB′+DD′即可．

解答：
（1）证明：连接AC、BD交于O，过O作OO′⊥MN于O′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BB′、DD′、OO′都垂直MN，
∴BB′∥OO′∥DD′，
∵OB=OD，OA=OC，
∴B′O′=O′D′，A′O′=C′O′，（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等）
∴OO′=

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2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．

（2）垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的关系是AA′=BB′+CC′+DD′，
证明：连接AC、BD交于O，过O作OO′⊥MN于O′，延长C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位线，
∴OO′=

1

2

A′E=

1

2

（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=

1

2

（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．

点评：本题考查了平行四边形性质，三角形的中位线，梯形的中位线，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，解此题的关键是正确作辅助线．