Question

如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，
（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；
（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的？
（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．

Answer 1

解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．
∵AB=10，sinB=，
∴AM=ABsinB=6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴DE=t，AN=t，MN=6-t．

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，
DE=DG=MN，即t=6-t，
∴t=，
∴当t=时，正方形DEFG的边GF在BC上；

（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，
S_△CEP+S_△BDQ=
=
S_△ABC=
令（12-t）（6-t）=×36，
解得t₁=15（舍去），t₂=5，
∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的；

（3）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，
S=DE²=（t）²=t²，此时t的范围是0≤t≤，
当t=时，S的最大值为16．
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图2，S=DE•MN=t（6-t）=-t²+t，此时t的范围是＜t≤10，
∵-＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，
∵18＞16，∴S的最大值为18．
分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据相似三角形比例关系即可得出t的值；
（2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；
（3）分两种情况讨论得出答案．
点评：本题主要考查了作辅助线、相似三角形的证明及性质、二次函数最值及正方形的性质，难度较大．