Question

已知，点P（x，y）在第一象限，且点P（x，y）在直线l：x+y=12的图象上，点A（10，0）在x轴上，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的关系式，并确定x的取值范围；
（2）画出S关于x的函数图象；
（3）在直线l上是否存在点M使△OAM是等腰三角形？若存在，求出点M的个数．

Answer 1

解：（1）如图1所示：
过点P作PB⊥x轴，连接OP，AP，
∵由点P（x，y）在直线l：x+y=12的图象上，
∴y=12-x，
∴S=×OA×PB=×10×（12-x）=60-5x（0＜x＜12）；

（2）∵由（1）可知，S=60-5x，
∴当x=0时，S=60，当S=0时，x=12，
∴S与x的函数图象如图2所示：

（3）存在．
设点M（m，12-m），
当OM=OA时，m²+（12-m）²=100，解得m₁=6+，m₂=6-，
故此时M（6+，6-）或（6-，6+）；
当OA=AM时，100=（m-10）²+（12-m）²，解得m₁=18，m₂=4，
故此时M（18，-6）或（4，8）；
当OM=AM时，m²+（12-m）²=（m-10）²+（12-m）²，解得m=5，
故此时M（5，7）．
综上所述，M点的坐标为M（6+，6-），（6-，6+），（18，-6），（4，8），（5，7）．
分析：（1）根据题意画出直线x+y=12的图象，过点P作PB⊥x轴，连接OP，AP，由点P（x，y）在直线l：x+y=12的图象上可知y=12-x，再根据三角形的面积公式即可得出S关于x的关系式；
（2）根据（1）中S与t的关系式画出函数图象；
（3）由于等腰三角形的两腰不能确定，故应分OM=OA，OA=AM，OM=AM三种情况进行解答．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质等相关知识，难度适中．