Question

（1）观察一列数：-2，-4，-8，-16，-32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

2

；根据这个规律，如果a₁表示第1项，a₂表示第2项，a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₁₈=

-2¹⁸

；a_n=

-2ⁿ

（2）如果想求l+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=l+3+3²+3³+…+3²⁰¹…①
将①式两边同乘以3，得

3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²

…②
由②减去①式，可以求得S=

1

2

(3202-1)

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…a_n从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n=

-a₁q^n-1

（用含a₁，q，n的数学式子表示），如果这个常数为2008，求a_l+a₂+…+a_n的值．（用含a_l，n的数学式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根据题中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分两种情况讨论．

解答：解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
∴a₁₈=-2¹⁸，a_n=-2ⁿ；

（2）令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²
3S-S=3²⁰²-1
S=

1

2

(3202-1)；

（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，
∴a_n=-a₁q^n-1，
继而得出：-

a1(qn-1)

q-1

．
故答案为：2、-2¹⁸、-2ⁿ；3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²、

1

2

(3202-1)；-a₁q^n-1、-

a1(qn-1)

q-1

．

点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的规律为：这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2．要注意：第（3）题要注意分情况讨论．