Question

如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB上的一点，BF：AF=m：n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E．
（1）求BE：EC的值；
（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论．
（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的m：n，若不能，证明你的结论．

Answer 1

解：（1）如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中点，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，
，
∴△DCE≌△DFG（AAS），
∴EC=GF，
∵BF：AF=m：n，
∴=，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴==，
∴BE：EC=；

（2）若BE=2EC，则BE：EC=2，
由（1）知，=2，
解得m=n，
∴点F是AB的中点，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB；

（3）不能．
理由如下：假设点E能成为BC中点，
则BE=EC，
∴BE：EC=1，
由（1）知=1，
解得m=0，
这与m、n＞0相矛盾，
所以，点E不能成为BC中点．
分析：（1）过点F作FG∥BC交AE于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，再根据中点定义可得CD=DF，然后利用“角角边”证明△DCE和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=GF，然后求出，再求出△AFG和△ABE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到，从而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m=n，从而得到点F是AB的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答；
（3）假设成立，求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m=0，与已知条件矛盾．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．