Question

如图，定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．

(1)求双曲线y＝的对径．

(2)若双曲线y＝(k＞0)的对径是10，求k的值．

(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝(k＜0)的对径．

Answer 1

考点：

反比例函数综合题。

专题：

综合题。

分析：

过A点作AC⊥x轴于C，

(1)先解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，则AB＝2OA＝2，于是得到双曲线y＝的对径；

(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)即可得到k的值；

(3)双曲线y＝(k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y＝(k＜0)的对径．

解答：

解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，

(1)解方程组，得，，

∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，

∴OC＝AC＝1，

∴OA＝OC＝，

∴AB＝2OA＝2，

∴双曲线y＝的对径是2；

(2)∵双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，

∴OA＝OC＝AC，

∴OC＝AC＝5，

∴点A坐标为(5，5)，

把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)得k＝5×5＝25，

即k的值为25；

(3)若双曲线y＝(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，

则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．

点评：

本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．