Question

如图（1），⊙O中△ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；

（1）求证：OB+BC=CD；
（2）如图（2），过O作OE⊥AC于E，若CD=4OB，OE=

3

，求⊙O半径．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OC、OD，过O作OM∥CD交BC于M，得出等边三角形BOM，推出三角形DAO和三角形MOC全等，即可得出答案；
（2）设OB=a，CD=4a，AC=3a，OA=2a，求出AE=

1

2

AO=a，tan∠AOE=

AE

OE

=

3

3

OE=

3

，求出a=1即可．

解答：证明：（1）连接OC、OD，过O作OM∥CD交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵OM∥AC，
∴∠BMO=∠BCA=60°，∠BOM=∠BAC=60°，
∴OB=OM=BM，
∴△OBM为等边三角形，
∴OB=OM，
∵∠BAC=∠OMB=60°，
∴∠DAO=∠OMC=120°，
∵AB=BC，OB=BM，
∴AO=CM，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠D+∠DOA=∠ACO+∠MCO=60°，
∵OD=OC，
∴∠D=∠ACO，
∴∠DOA=∠MCO，
在△OAD和△CMO中

OD=OC ∠DOA=∠MCO OA=CM

                        
∴△OAD≌△CMO，
∴OM=OB=AD，
∴OB+BC=CD； 
                                   
解：（2）设OB=a，CD=4a，AC=3a，OA=2a，
∵∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO=a，
∵tan∠AOE=

AE

OE

=

3

3

OE=

3

，
∴a=1，CD=4，
∵OE⊥CD，
∴DE=CE=2，
∴OC=

OE2+DE2

=

7

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．