Question

14．如图（1），在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，点E是AB边上-动点（点E不与点A、B重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接ED．
（1）设AE=x，则EF=$\frac{5}{4}$（8-x）；
（2）若DE⊥EF，求EF的长；
（3）如图（2），过点E作EG⊥EF．交AC于点H，交直线CD于点G，连接AG、FG，随着点E在线段AB上的运动，当AE为何值时，△EFG与△AHE相似？

Answer 1

分析 （1）首先由在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，可求得AC的长，然后由EF∥AC，证得△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（2）由DE⊥EF，易证得△ADE∽△BAC，再利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（3）首先过点G作GH⊥AB于点H，可求得GH的长，由EG⊥EF，易证得△HGE∽△BAC，则可求得EH的长，然后分别从△EFG∽△HAE与△EFG∽△HEA，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，
∴BC=AD=6，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∵AE=x，
∴BE=AB-AE=8-x，
∴$\frac{EF}{10}=\frac{8-x}{8}$，
解得：EF=$\frac{5}{4}$（8-x）；
故答案为：$\frac{5}{4}$（8-x）；

（2）∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC，
∵∠DAE=∠ABC=90°，
∴△ADE∽△BAC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{x}{6}=\frac{6}{8}$，
解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴EF=$\frac{5}{4}$（8-x）=$\frac{35}{8}$；

（3）过点G作GM⊥AB于点M，
则四边形ADGM是矩形，
∴GM=AD=6，
∵EF⊥EG，
∴∠GEM+∠BEF=90°，
∵∠GEM+∠EGH=90°，
∴∠EGM=∠BEF，
∵∠EMG=∠B=90°，
∴△EGM∽△FBE，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴△MGE∽△BAC，
∴$\frac{EG}{AC}=\frac{GM}{AB}$，
∴$\frac{EG}{10}=\frac{6}{8}$，
解得：EG=$\frac{15}{2}$，
∵EF⊥EG，EF∥AC，
∴EG⊥AC，
∴△AEH∽△ACB，
∴$\frac{AH}{EH}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
若△EFG∽△HEA，
则$\frac{EF}{EG}=\frac{EH}{AH}$，
∴$\frac{EF}{\frac{15}{2}}=\frac{3}{4}$，
解得：EF=$\frac{45}{8}$；
∴AE=x=$\frac{7}{2}$；
若△EFG∽△HAE，
则$\frac{EF}{EG}=\frac{AH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
解得：EF=10，
此时x=0，不符合题意，舍去．
∴当AE=$\frac{7}{2}$时，△EFG与△AHE相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线、充分利用相似三角形的对应边成比例是解此题的关键．