Question

7．如图，二次函数y=-x²+1与坐标轴交于A、B、C三点．
（1）求A，B，C的坐标；
（2）求S_△ABC；
（3）在x轴上是否得在点P使△PBC为等腰三角形？若存在，直接写出P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程求出x和y的值即可求得结论；
（2）根据三角形的面积公式即可求得结论；
（3）存在，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，设P（a，0）①当B为顶点时，②当C为顶点时，③当P为顶点时，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）y=-x²+1，令y=0，则0=-x²+1，
解得：x₁=-1，x₂=1，令x=0，则y=1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，1）；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
（3）存在，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
设P（a，0）
①当B为顶点时，则|a-1|=$\sqrt{2}$，
解得：a=1±$\sqrt{2}$，
∴P（1+$\sqrt{2}$，0）或P（1-$\sqrt{2}$，0）；
②当C为顶点时，即CP=CP，
∵OC⊥PB，
∴OP=OB=1，
∴P（-1，0）；
③当P为顶点时，即PC=PB，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{1}^{2}}$=|1-a|，
解得：a=0，
∴P（0，0）；
综上所述：P的坐标为：P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1-$\sqrt{2}$，0），P₃（-1，0），P₄（0，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了根据抛物线的解析式的确定点的坐标，抛物线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质和等腰三角形的性质，能灵活运用．