Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=；⑤S_△AEF=S_△DFG．

其中正确的说法有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=1，所以DE=DF，从而得证．⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G，证明三角形DFI与EFG全等．
解答：解：由题意三角形ABE对折后为三角EFB，
∴∠EFB=∠DAB=90°，
由题意正方形ABCD，连接BD，
则角ABF=45°，
∴在直角三角形BHF中HF=BF，
故①正确．
由上一证知：HF=BF=AB，∠FHB=∠ADB=45°，
又知AF为公共边，
∴△AHF≌△ADF，
故②正确．
由①证得：∠ABE=∠DAG=22.5°，
由已知∠BDC=45°，
∴在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°，
在三角形DFG中角DFG=67.5°，
故③不正确；
根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=1，
所以DE=DF，
即④正确，
或者过D作FG的垂线证明三角形全等，
⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G，
而这两个三角形的面积分别等于相应所在三角形的面积的一半，
所以证得三角形DFI与EFG全等．
故⑤正确．
所以①②④⑤正确．
故选D．
点评：本题考查了正方形的性质，①由折叠后对称很容易得到结果．②由上一证结论，并证明△AHF≌△ADF从而证得．③由①证得：∠ABE=∠DAG=22.5°，在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°故不正确．④根据对折可以证明三角形DEF 是等腰直角三角形，DF=1，所以DE=DF，从而得证．⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G证明三角形DFI与EFG全等．