Question

如图，将边长为3的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆，在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径的长为（　　）

• A．(4+2

  3

  )π
• B．(8+4

  3

  )π
• C．(4+

  3

  )π
• D．(2+

  3

  )π

Answer 1

分析：连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六边形的性质分别计算出A₁A₄=6，A₁A₅=A₁A₃=3

3

，而当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，以3，3

3

，6，3

3

，3为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．

解答：解：连接A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图，
∵六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形，
∴A₁A₄=6，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=

3

2

，A₁C=

3 3

2

，
∴A₁A₅=A₁A₃=3

3

，
当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，
以3，3

3

，6，3

3

，3为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A₁所经过的路径的长=

60π×3

180

+

60π×3 3

180

+

60π×6

180

+

60π×3 3

180

+

60π×3

180

=（4+2

3

）π．
故选A．

点评：本题考查了弧长的计算，掌握弧长的计算公式l=

nπR

180

是解答本题的关键，另外要掌握正六边形的性质及旋转的性质，有一定难度．