Question

如图，将边长为a的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径的长为（　　）

• A、

  4+2 3

  3

  πa
• B、

  8+4 3

  3

  πa
• C、

  4+ 3

  3

  πa
• D、

  4+2 3

  6

  πa

Answer 1

分析：连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六边形的性质分别计算出A₁A₄=2a，A₁A₅=A₁A₃=

3

a，而当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，以a，

3

a，2a，

3

a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．

解答：解：连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图，

∵六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形，
∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=

1

2

a，A₁C=

3

2

a，
∴A₁A₅=A₁A₃=

3

a，
当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，
以a，

3

a，2a，

3

a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A₁所经过的路径的长=

60•π•a

180

+

60•π• 3 a

180

+

60•π•2a

180

+

60•π• 3 a

180

+

60•π•a

180

，
=

4+2 3

3

πa．
故选A．

点评：本题考查了弧长公式：l=

n•π•R

180

；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．