Question

已知：如图，抛物线y=x²-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y₁=-2x+m+6经过点N，交y轴于点F．
（1）求这条抛物线和直线的解析式．
（2）又直线y₂=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y₁交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．
①试用含有k的代数式表示；
②求证：．
（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y₁于点E，当直线y₂绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y₂的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可知：N点的坐标为（，0）．
已知抛物线过N点，则有：
-+3（m-1）+0
即m²-8m=0，解得m=0，m=8．
∵M，N在原点两侧，因此3（m-1）＜0，m＜1；
因此m=8不合题意舍去
∴m=0．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，直线的解析式为y₁=-2x+6．

（2）已知抛物线与直线y₂交于A、B两点，
因此kx=x²-2x+3，
即x²-（2+k）x-3=0
设C、D的坐标为（x₁，0），（x₂，0）．
∴x₁+x₂=2+k，x₁•x₂=-3
∴-===．
已知直线y₂与y₁交于P点，
则：-2x+6=kx，x=
∴H点的坐标为（，0）
因此=，
∴．

（3）本题要分三种情况：
①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，
∵∠OFD＜45°，
∴∠FOB为钝角，此时y₂的斜率k＜0，
因此不合题意，不存在这种情况．
②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），
∴y=OF=3．
已知直线y₁过P点，
因此P点的坐标为（，3）．
∴3=k，k=2．
因此直线y₂的解析式为y₂=2x．
③PE=BE，则有PF=OF=6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．
在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，
根据勾股定理可得：EF=3．
∵PG∥x轴
∴，
即．
∴x=，
由于直线y₁=-2x+6过P点，
因此P点的坐标为（，）．
∴=k•，k=-2．
∴y₂=（-2）x．
综上所述y₂的解析式为y₂=2x或y₂=（-2）x．
分析：（1）可先根据直线y₁的解析式求出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出m的值，然后根据M、N在原点两侧，即3（m-1）＜0，将不合题意的m的值舍去，即可求出抛物线和直线的解析式；
（2）本题可联立个相交函数的解析式，求出C，D，H三点的横坐标，然后用根与系数的关系进行求解即可；
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当PB=BE时，则有∠OFD=∠OF，由于∠OFD为锐角且小于45°，因此∠FOB为钝角，此时直线y₂的斜率k＜0，显然不合题意．
②当PB=PE时，那么PF=PO，P点位于OF的垂直平分线上，因此P点的纵坐标为3，由此可求出P点的坐标．以此来求出直线y₂的解析式．
③当PE=BE时，那么PF=OF=6，可过P作PG⊥y轴于G，通过构建相似三角形来求出P点的横坐标，进而根据直线y₁的解析式求出P点的坐标，以此来求出直线y₂的解析式．
综上所述，可求得符合条件的直线y₂的解析式．
点评：本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、函数图象的交点、等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．