Question

已知函数y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β为方程y₁-y₂=0的两个根，点M（t，T）在函数y₂的图象上。
（Ⅰ）若，，求函数y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y₁与y₂的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；
（Ⅲ）若0<α<β<1，当0<t<1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由。

Answer 1

解：（I）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0，
将分别代入x²+（b-1）x+c=0，得
，，
解得，
∴函数y₂的解析式为；
（Ⅱ）由已知，得，设△ABM的边AB上的高为h，
∴，即，
根据题意，|t-T|=，
由得，
当，解得，
当，解得，
∴t的值为；
（Ⅲ）由已知，得
α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c，
∴T-α=（t-α）（t+α+b）
T-β=（t-β）（t+β+b），
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化简得（α-β）（α+β+b-1）=0
由0<α<β<1，得α-β≠0，
α+β+b-1=0，
有α+b=1-β>0，β+b=1-α>0，
又0<t<1，∴t+α+b>0，t+β+b>0，
∴当0<t≤α时，T≤α<β；
当α<t≤β时，α<T≤β；
当β<t<1时，α<β<T。