Question

如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AC=BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明．

解答：（1）证明：方法一：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，
∴DE∥AC，DE=

1

2

AC，CF=

1

2

AC．（3）分
∴DE∥CF，DE=CF．
∴四边形DECF是平行四边形，5分）
方法二：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，
∴DE∥AC，DF∥BC，（3分）
∴四边形DECF是平行四边形．（5分）

（2）解：四边形DECF是菱形（6分）
理由：∵E、F分别是边BC、CA的中点，
∴CE=

1

2

BC，CF=

1

2

AC，
又∵AC=BC，
∴CE=CF．（8分）
由（1）知，四边形DECF是平行四边形，
∴四边形DECF是菱形．（10分）

点评：考查了平行四边形和菱形的判定．
形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．