Question

如图，在直角坐标系xOy中，点A（m，0）（其中m＜0）、点B（4，0）、C（4，m），D（m，-4）．点E是y轴正半轴上的一点，且 0E=AB．分别连接AE，DE，CE  和BE 
（1）求点E的坐标（用含 m的式子表示）；
（2）若m=-1.2时，连接CD，求S_△CDE；
（3）当点A在x 轴的负半轴上运动时，

∠AED

∠BEC

 的值是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，请求出其值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：（1）根据A、B的坐标，求出AB的值，就可以表示出OE，从而求出E的坐标；
（2）当m=-1.2时，代入E的坐标，求出OE，由S_△EDC=S_梯形ADCB+S_△EAB-S_△AED-S_△EBC就可以求出结论；
（3）连接AC、BD，根据条件可以得出△AOE≌△CBA，△OBE≌ADB，根据全等三角形的性质可以得出∠AED=∠BEC，从而得出结论．

解答：解：（1）∵A（m，0）（其中m＜0）、B（4，0），
∴OA=-m，OB=4，
∴AB=4-m．
∵0E=AB，
∴OE=4-m，
∴E（0，4-m）．
答：点E的坐标为（0，4-m）；

（2）当m=-1.2时，
∴OE=4-（-1.2）=5.2，AB=5.2
∵B（4，0）、C（4，m），D（m，-4），AD⊥x轴，CB⊥x轴，
∴AD=4，CB=1.2．OA=1.2，OB=4
∵S_△EDC=S_梯形ADCB+S_△EAB-S_△AED-S_△EBC，
∴S_△EDC=

(1.2+4)×5.2

2

+

5.2×5.2

2

-

4×1.2

2

-

1.2×4

2

，
=22.24．
答：S_△EDC=22.24；

（3）

∠AED

∠BEC

 的值是不变．
理由：连接AC、BD．
∵AB⊥x轴，CB⊥x轴，
∴∠ABC=∠BAD=90°．
∵∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠CBA，∠BOE=∠DAB．
∵A（m，0）（其中m＜0）、点B（4，0）、C（4，m），D（m，-4），
∴OA=-m，BC=-m，AD=4，OB=4，
∴OA=BC，OB=AD．
在△AOE和△CBA中，

OA=BC ∠AOE=∠CBA OE=BA

，
∴△AOE≌△CBA（SAS），
∴∠AEO=∠CAB，AE=AC．
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠CAB+∠EAO=90°，
即∠CAE=90°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°．
在△OBE和ADB中，

OB=AD ∠BOE=∠DAB EO=BA

，
∴△OBE≌ADB（SAS），
∴∠BEO=∠DBA，BE=BD，
∵∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠DBA+∠OBE=90°，
即∠DBE=90°，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴∠DEB=45°，
∴∠AEC=∠DEB，
∴∠AEC-∠DEC=∠DEB-∠DEC，
∴∠AED=∠BEC，
∴

∠AED

∠BEC

=1．

点评：本题考查了坐标与图形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时运用三角形全等的性质求解是关键．