Question

已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，点P为射线OM上的一点，连接BP、PC．将线段PB绕点P逆时针
旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D连接ED．
（1）如图1，当α=30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是

 

；
（2）如图2，当α=120°，且点P与点O不重合时，∠CDM的度数是

 

；
（3）点P在射线OM上运动时，∠CDM的度数是

 

．（用含α的代数式表示）

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）由中垂线的性质就可以得出BO=CO，由旋转的性质可以出PQ=OB=PC，由三角形外角与内角的关系就可以得出∠C=15°，在△PDC中可以求出∠CDM的结论；
（2）由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM的值．
（3）由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM=

1

2

（180°-a）=90°-

1

2

a．

解答：解：（1）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BO=CO，∠COD=90°．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠Q=∠C．
∵∠Q+∠C=∠BPQ=30°，
∴∠C=15°，
∴∠C+∠CDM=90°，
∴∠CDM=75°．
故答案为：75°

（2）如图2，∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=120°，
∴∠BDC=60°．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=30°．
即∠CDM=30°．
故答案为：30°；

（3）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，BD=CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB=PC=PQ．
∴∠PQC=PCQ．
在△PBD和△PCD中

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PQD+∠PBD=180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°，
∴∠BPQ+∠BDC=180°．
∵∠BPQ=a，
∴∠BDC=180°-a．
∵∠PDB=∠PDC，
∴∠PDC=90°-

1

2

a．
即∠CDM=90°-

1

2

a．
故答案为：90°-

1

2

a．

点评：本题考查了旋转的性质运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，四边形内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时灵活运用旋转的性质求解是关键．