Question

已知点A（1，1），B（5，4），点P是坐标轴上一点，且△ABP为等腰三角形，求出所有点P的坐标．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：分两种情况讨论：当AB为底边时，点P是AB的垂直平分线与坐标轴的交点；当AB为等腰三角形的腰时，分别以A、B为圆心，以AB长为半径作圆与坐标轴的交点即为所求．

解答：解：当AB为底边时，如图，作AB的垂直平分线与坐标轴的交于P₁、P₂，垂足为M，
∵点A（1，1），B（5，4），
∴直线AB为y=

3

4

x+

1

4

，
∴M（3，

5

2

），
设直线AB的垂直平分线为y=-

4

3

x+n，
把M（3，

5

2

）代入得：n=

13

2

，
∴直线AB的垂直平分线为y=-

4

3

x+

13

2

，
∴令y=0，解得，x=

39

8

，
∴P₁（

39

8

，0）
令x=0，解得，y=

13

2

，
∴P₂（0，

13

2

），

当AB为等腰三角形的腰时，分别以A、B为圆心，以AB长为半径作圆与坐标轴的交点即为所求，
此时P的坐标为P₃（0，1+2

6

），P₄（-2

6

+1，0），P₅（0，-2

6

+1），P₆（2

6

+1，0），P₇（0，5），P₈（2，0），P₉（8，0）．
所以所有符合条件的P点坐标为P₁（

39

8

，0）P₂（0，

13

2

），P₃（0，1+2

6

），P₄（-2

6

+1，0），P₅（0，-2

6

+1），P₆（2

6

+1，0），P₇（0，5），P₈（2，0），P₉（8，0）．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．