Question

11．在△ABC中，CD，BD交于点D，且∠A=α，请你探究下列情况∠D与∠A之间的关系，并求出∠D的度数．
（1）如图①，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线；
（2）如图②，BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的外角的平分线；
（3）如图③，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根据角平分线的定义可得∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，然后整理可得∠D=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）先根据外角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再由三角形内角和定理解答即可．

解答 解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$α；

（2）由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠D+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=α，
∴∠D=$\frac{1}{2}α$；

（3）解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$（2∠A+180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
即∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A=90°-$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理：（1）三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．