(2004 辽宁大连)如图a所示，
和
内切于点P．C是上任一点(与点P不重合)．
实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过
，另一条直角边所在直线交于点A、B，直线PA、PB分别交于点E、F，连接CE(图b是实验操作备用图)．
探究：(1)你发现
有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；
(2)你发现线段CE、PE、BP有怎样的比例关系？证明你的发现．
附加题：如图c所示，若将上述问题的和由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明．
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解 实验操作，图形正确． (1) 证法1 如图所示，过P点作两圆外公切线MN，连接EF．
∵ MN为两圆的外公切线，∴∠ NPB=∠PEF=∠A．∴ EF∥AB．又  ，
∴  ．
又  为 的半径，
∴  ．
证法 2 如图所示
过点P作两圆的外公切线MN，连接CP． ∵ ∴AB切 ∴∠BCF=∠CEP． ∵MN为两圆外公切线， ∴∠MPA=∠B=∠PCE． ∴∠CPE=∠CPB， ∴ 证法3 如图所示
过点P作两圆的外公切线MN，连接PC． ∵  ， 为的半径，
∴ AB切于C．
又 MN是两圆外公切线，∴∠ MPC=∠PCA∵∠ EPC=∠MPC－∠MPE，∠ BPC=∠PCA－∠B，∴∠ EPC=∠BPC．∴ ．
证法 4 如图所示，连接PC并延长交 于G，连接 、 ．
∵ P为切点，则 在 上．
∵  ，
∴  ．
又  ， ，
∴  ．
∴  ．
∵  ，
∴  ．
∴  ．
∴∠ APG=∠BPG．∴  ．
探究 (2)结论： ．
证法 1 如图所示，连接CF．
∵ AB切于C，
∴∠ BCF=∠CPB．∵∠ CPB=∠CPE，∴∠ BCF=∠CPE．∵ 是四边形ECFP的外接圆．
∴∠ CFB=∠CEP．∴△ BCF∽△CPE．∴  ．
又  ．
∴ CE=CF．∴  ．
∴  ．
证法 2 如图所示，连接CF．
∵MN是两圆的外公切线， ∴∠MPA=∠PCB=∠B． ∵ ∴∠CFB=∠CEP． ∴△CBF∽△PCE． ∴ 又 ∴CE=CF． ∴ 证法3 如图所示
连接CF． ∵EF∥AB， ∴ ∴AE·PF=PE·BF． ∵ ∴∠AEC=∠PFC． ∵AB切 ∴∠ACE=∠APC， 又∠APC=∠CPB， ∴∠ACE=∠CPB． ∴△AEC∽△CFP． ∴ ∴AE·PF=CE·CF． ∴CE·CF=PE·BF． ∵ ∴CE=CF． 又 证法4 如图所示，连接CF．
∵ AB切于C，
∴∠ PCB=∠PEC．又∠ EPC=∠CPB，∴△ PEC∽△PCB．∴  ．
∴  ．
∵ AB切于C，
∴∠ BCF=∠CPB．又∠ B=∠B，∴△ CFB∽△PCB．∴  ．
∴  ．
∴  ．
∵  ．
∴ CE=CF．∴  ．
附加题： 图正确，结论：  ．
证法 1 如图
过点P作两圆的内公切线MN，连接CF、EF、PC． ∵ ∴BC切 ∵MN是两圆的内公切线， ∴∠MPE=∠EFP，∠NPA=∠B． 又∠MPE=∠NPA， ∴∠EFP＝∠B． ∴EF∥BC． ∴ ∴ ∴CE=CF． ∴∠B=∠EFP，∠EFP=∠ECP， ∴∠B=∠ECP． 又∠PEC=∠PFC， ∴△EPC∽△FCB． ∴ ∴ ∴ 证法2 如图
过点P作两圆的内公切线MN，连接CF、EF、CP． ∵MN是两圆的内公切线， ∴∠MPE=∠EFB，∠NPA=∠B． ∵∠MPE=∠NPA， ∴∠EFB=∠B． ∵ ∴BC切 ∴∠PCB=∠PFC． ∵∠FEC=∠FPC=∠PCB＋∠B， ∠EFC=∠PFC＋∠EFB， ∴∠FEC=∠EFC． ∴CF=CE． 余下同证法1． 证法3 如图，过点P作两圆的内公切线MN，连接EF、CF、CP．
∵  ， 是的半径，
∴ CB是的切线．
∴∠ PCN=∠CPN，∠B=∠APN．∴∠ PCN＋∠B=∠CPN＋∠APN．∴∠ APC=∠CPF．又四边形 CPEF内接于，
∴∠ APC=∠EFC．又∠ CPF=∠FEC，∴∠ EFC=∠FEC．∴ CE=CF．余下同证法 1． |
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：044
(2004 辽宁大连)如图所示，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD·CE=DE·DF．
说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步)．(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①∠CDB=∠CEB．
②AD∥EC．
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°，
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的相反数是
的根的情况是
