(2004 辽宁大连)如图所示，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD·CE=DE·DF．
说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步)．(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①∠CDB=∠CEB．
②AD∥EC．
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°，
|
证明 如图1所示，连接AF，则∠ABD=∠F．
∵∠ ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F．∵ DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°，∴∠ ADF＋∠F=90=90°，∴∠ ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°．∴∠ DAF==∠CDE=90=90°．∵ CB⊥AB，∴∠CBE=90=90°．取 EC中点M，连接DM，BM，则DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC为直径的圆上．则在圆M中，∠ABD和∠DCE都是弦DE所对的圆周角，∴∠ ABD==∠DCE，则∠DCE==∠F． △DAF∽△EDC， ∴ ( 一)没有直接解答问题写出探究过程．思路 1 如图1所示，连接AF．∵ DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°．∴∠ ADF＋∠F=90=90°．∴∠ ADG==∠ABD，∠ABD==∠F，∴∠ADG==∠F．∴∠ ADF＋∠ADC=90=90°，∴DF⊥CG．思路 2 如图1，连接AF．∵ DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°．∴∠ ADF＋∠F=90=90°．∵ CB⊥AB，∴∠CBD＋∠ABD=90=90°．∵∠ ABD==∠F，∴∠ADF==∠CBD．思路 3 如图2所示，连接BF．
∵ DF为⊙O的直径，∴∠DBF=90=90°，∴∠ ABD＋∠ABF=90=90°．∵∠ ADG==∠ABD，∠ADF==∠ABF，∴∠ ADG＋∠ADF=90=90°，即∠GDF=90=90°．∴ CG切⊙O于D．思路 4 如图3所示，连接AF．
要证 AD·CE=DE·DF，需证 ，
需证△DAF∽△EDC， 需证∠F==∠DCE，∠ADE==∠DEC． 要证∠ADE==∠DEC，需证AD∥CE． 要证∠F==∠DCE，需证∠DCE==∠DBA． ( 二)选取①．如图3所示，连接AF，则∠ABD==∠F．∵∠ ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F．∵ DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°，∴∠ ADF＋∠F=90=90°，∴∠ ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°，∴∠ DAF==∠CDE=90=90°，∴CD是⊙O的切线．∴∠ BAD==∠BDC．∵∠ BDC==∠CEB，∴∠BAD==∠CEB．∴ AD∥EC，∴∠ADF==∠DEC，∴△ DAF∽△EDC，∴ ，
∴ AD·CE=DE·DF．( 三)选取②．如图4所示，连接AF，BF．
∵∠ ADG==∠DBA，∠ADF==∠ABF，∴∠ ADG＋∠ADF==∠DBA＋∠ABF，即∠ GDF==∠DBF．∵ DF是⊙O的直径，∴∠DBF==∠DAF=90=90°，∴∠ GDF=90=90°，∴∠DAF==∠EDC=90=90°．∵ AD∥CE，∴∠ADE==∠DEC，∴△ ADF∽△DEC，∴ ，
∴ AD·CE=DE·DF．( 四)选取③．证明：如图 4所示，∵DF是⊙O的直径，∴∠ DAF=90=90°．∵∠ CDE=90=90°，∴∠DAF==∠CDE．又∵∠ADF= =∠DEC，∴△ADF∽△DEC．∴ |
孟建平名校考卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：044
(2004 辽宁大连)如图a所示，
和
内切于点P．C是上任一点(与点P不重合)．
实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过
，另一条直角边所在直线交于点A、B，直线PA、PB分别交于点E、F，连接CE(图b是实验操作备用图)．
探究：(1)你发现
有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；
(2)你发现线段CE、PE、BP有怎样的比例关系？证明你的发现．
附加题：如图c所示，若将上述问题的和由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明．
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，∴AD·CE=DE·DF．
，∴AD·CE=DE·DF．
的相反数是
的根的情况是
