Question

如图1，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C、D分别在半径OA与弧AB上，且AC=2，CD平行OB，点P是CD上一动点，过P作PO的垂线交弧AB于点E、F，联结DE、BF．
（1）求

S△DEP

S△DFP

的值；
（2）如图2，联结EO、FO，若∠EOF=60°，求CP的长；
（3）设CP=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据垂径定理可得PE=PF，继而可得

S△DEP

S△DFP

的值；
（2）首先判断∠EOP=30°，求出EP，结合AC=2求出OC，在Rt△OCP中，可求出CP的长；
（3）连结OD，作EH⊥CD，垂足为H，分别表示出OP、EP，再证明△OCP∽△PHE，利用对应边成比例求出EH，得出y的表达式即可．

解答：解：（1）作DM⊥EF，垂足为M，
∵OP⊥EF，
∴PE=PF，
∴

S△DEP

S△DFP

=

1 2 •PE•DM

1 2 •PF•DM

=1．

（2）∵∠EOF=60°，
∴∠EOP=30°，
∵OE=AO=5，
∴EP=

5

2

，
∵OP⊥EF，
∴OP=

5

2

3

，
∵OC=OA-AC=3，
∴CP=

OP2-OC2

=

75 4 -9

=

39

2

．

（3）连结OD，在Rt△CDO中，OC=3，OD=5，
∴CD=4，DP=4-x，
作EH⊥CD，垂足为H，
∵OC=3，CP=x，
∴OP=

x2+9

，
∴在Rt△EPO中，EP=

16-x2

，
∵∠COP+∠CPO=90°，∠EPH+∠CPO=90°，
∴∠COP=∠EPH，
∴△OCP∽△PHE，
∴

CP

PO

=

EH

EP

，
∴

x

x2+9

=

EH

16-x2

，
∴EH=

x 16-x2

x2+9

，
y=S_△DEF=2S_△DPE=2×

1

2

×DP×EH=（4-x）×

x 16-x2

x2+9

=

(4x-x2) 16-x2

x2+9

，
∴y=

(4x-x2) 16-x2

x2+9

（

6

≤x＜4）．

点评：此题考查了圆的综合，涉及了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，解答本题关键还是基本知识的掌握，要求同学们会运用数形结合思想解题．